Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為M，若函數(shù)f（x）滿足：（1）f（x）在M內(nèi)單調(diào)遞增，（2）方程f（x）=x在M內(nèi)有兩個不等的實根，則稱f（x）為遞增閉函數(shù)，現(xiàn)在f(x)=k+2

x+1

是遞增閉函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

A．（-2，+∞）

B．（-∞，1]

C．（-2，-1]

D．（-2，1）

Answer 1

分析：根據(jù)已知中遞增閉函數(shù)的定義，結(jié)合f(x)=k+2

x+1

是遞增閉函數(shù)，可得f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且方程f（x）=x在M內(nèi)有兩個不等的實根，即-(x+1)+2

x+1

+1+k=0在[-1，+∞）內(nèi)有兩個不等的實根，利用換元法，可得方程-t²+2t+1+k=0有兩個不等的非負根，結(jié)合韋達定理及根的個數(shù)與△的關(guān)系，構(gòu)造不等式組可求出參數(shù)范圍．

解答：解：∵f(x)=k+2

x+1

不論k為何值均為增函數(shù)，故滿足條件（1）
又∵f(x)=k+2

x+1

是遞增閉函數(shù)
∴f（x）=x在[-1，+∞）內(nèi)有兩個不等的實根
即-(x+1)+2

x+1

+1+k=0在[-1，+∞）內(nèi)有兩個不等的實根
令t=

x+1

（t≥0）
則方程-t²+2t+1+k=0有兩個不等的非負根
則

△=4+4(1+k)＞0 1+k≤0

解得-2＜k≤-1
故實數(shù)k的取值范圍是（-2，-1]
故選C

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，根的存在性及根的個數(shù)判斷，正確理解新定義是解答本題的關(guān)鍵．