已知向量a=(sinx•
3
)，b=(cosx•si
n
2
 
x-
1
2
)，函數(shù)f（x）=a•b．
（1）求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）圖象按向量c=（m，0），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，且g（x）為偶函數(shù)，求正實數(shù)m的最小值．
分析：（1）由題意可將f（x）=
a
•
b
化為：f（x）=sin（2x-
π
3
），從而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由題意可求得g（x）=f（x-m）=sin（2x-2m-
π
3
），再結(jié)合g（x）為偶函數(shù)，可得到，-2m-
π
3
=kπ+
π
2
，（k∈Z），于是可得正實數(shù)m的最小值．
解答：解：（1）∵
a
=（sinx，
3
），
b
=（cosx，sin2x-
1
2
），
∴f（x）=
a
•
b
=sinxcosx+
3
（sin2x-
1
2
）
=
1
2
sin2x+
3
×
1-cos2x
2
-
3
2

=
1
2
sin2x-
3
2
cos2x
=sin（2x-
π
3
）．
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
（k∈Z）得：kπ-
π
12
≤x≤kπ+
5π
12
，（k∈Z）
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
]，k∈Z．
（2）f（x）圖象按向量
c
=（m，0），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
則：g（x）=f（x-m）=sin[2（x-m）-
π
3
]=sin（2x-2m-
π
3
），
∵g（x）為偶函數(shù)，
∴-2m-
π
3
=kπ+
π
2
，（k∈Z）
∴當(dāng)k=-1時，m最小．mmin=
π
12
．
點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量的平移及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，綜合性強，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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