Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0
（1）若a，b是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩正根的概率．
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程沒有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點數(shù)的事件，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個滿足條件的事件是二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有兩正根，根據(jù)實根分布得到關(guān)系式，得到概率．
（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²＜16}，做出兩者的面積，得到概率．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型
用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點數(shù)的事件
依題意知，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個
二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有兩正根，
等價于

a-2＞0 16-b2＞0 △=4(a-2)2+4(b2-16)≥0

即

a＞2 -4＜b＜4 (a-2)2+b2≥16

“方程有兩個正根”的事件為A，則事件A包含的基本事件為（6，1）、
（6，2）、（6，3）、（5，3）共4個
∴所求的概率為P(A)=

4

36

=

1

9

（2）由題意知本題是一個幾何概型，
試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
其面積為S（Ω）=16
滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²＜16}
其面積為S(B)=

1

4

×π×42=4π
∴所求的概率P（B）=

4π

16

=

π

4

點評：本題考查古典概型和幾何概型，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的，高考時常以選擇和填空出現(xiàn)，有時文科會考這種類型的解答題目．