Question

如圖，某海濱城市位于海岸A處，在城市A的南偏西20°方向有一個海面觀測站B，現(xiàn)測得與B處相距31海里的C處，有一艘豪華游輪正沿北偏西40°方向，以40海里/小時的速度向城市A直線航行，30分鐘后到達(dá)D處，此時測得B、D間的距離為21海里．
（1）求sin∠BDC的值；
（2）試問這艘游輪再向前航行多少分鐘即可到達(dá)城市A？

Answer 1

分析：（1）由已知可得 CD=20，△BDC中，根據(jù)余弦定理求得 cos∠BDC 的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin∠BDC 的值．
（2）由已知可得∠BAD=60°，由此可得sin∠ABD=sin（∠BDC-60°）的值，再由正弦定理求得 AD的值，由此求得這艘游輪到達(dá)A的時間．

解答：解：（1）由已知可得 CD=40×

1

2

=20，△BDC中，根據(jù)余弦定理求得 cos∠BDC=

212+ 202-31 2

2×21×20

=-

1

7

，
∴sin∠BDC=

1-(- 1 7 )2

=

4 3

7

．
（2）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，∴sin∠ABD=sin（∠BDC-60°）=

4 3

7

×

1

2

-（-

1

7

）×

3

2

=

5 3

14

．
△ABD中，由正弦定理可得

AD

sin∠ABD

 = 

BD

sin∠BAD

．
又BD=21，∴AD=

BD×sin∠ABD

sin∠BAD

=15，
∴t=

15

40

×60=22.5分鐘．
即 這艘游輪再向前航行22.5分鐘即可到達(dá)城市A．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，兩角和差的正弦公式公式的應(yīng)用，屬于中檔題．