①③⑤
分析:由輔助角公式,化簡得f(x)=
sin(2x+θ),結(jié)合已知不等式得f(
)是函數(shù)的最大或最小值,從而得到
f(x)=
sin(2x+
+kπ)=±
sin(2x+
).再根據(jù)三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì),對各選項(xiàng)逐個(gè)加以判斷,可得①③⑤通過證明可得其正確性,而②④存在反例說明它們不正確.
解答:f(x)=asin2x+bcos2x=
sin(2x+θ),其中角θ滿足cosθ=
,sinθ=
∵f(x)≤|f(
)|對一切x∈R恒成立,
∴f(
)=
或-
,得2×
+θ=
+kπ,k∈Z
因此θ=
+kπ,k∈Z.f(x)=
sin(2x+
+kπ)=
sin(2x+
)或-
sin(2x+
)
對于①,因?yàn)閟in(2×
+
)=sin2π=0,所以f(
)=±
sin(2×
+
)=0,故①正確;
對于②,|f(
)|=|
sin(2×
+
)|=
∵|f(
)|=|
sin(2×
+
)|=
sin
<
∴|f(
)|>|f(
)|,故②不正確;
對于③,根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式,得f(-x)≠±f(x),故y=f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),故③正確;
對于④,因?yàn)楹瘮?shù)的表達(dá)式f(x)=
sin(2x+
)或-
sin(2x+
),
表達(dá)式不確定,故[kπ+
,kπ+
](k∈Z)不一定是增區(qū)間,故④不正確;
對于⑤,采用反證法
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)(a,b)的一條直線與函數(shù)y=f(x)的圖象不相交,則此直線與x軸平行
方程為y=b,且|b|>
,平方得b
2>a
2+b
2矛盾,故假設(shè)不成立
∴經(jīng)過點(diǎn)(a,b)的所有直線均與函數(shù)y=f(x)的圖象相交.故⑤正確.
故答案為:①③⑤
點(diǎn)評:本題給出符合已知條件的三角函數(shù)表達(dá)式,叫我們判斷幾個(gè)選項(xiàng)的正確性,著重考查了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)和反證法等知識(shí),屬于中檔題.