Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求證λ₁＋λ₂為定值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知b＝1． 　　 　　∴橢圓C的方程為　　6分 　　(Ⅱ)方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 　　易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)． 　　　　9分 　　將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得 　　去分母整理得　　12分 　　 　　　　15分 　　方法二：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)． 　　顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是 　　將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得 　　　　9分 　　　　12分 　　又 　　　　15分