Question

△ABC中，AB=2，cosC=

2 2

7

，D是AC上一點(diǎn)，

AD

=2

DC

，且∠DBC=arccos

5 7

14

．
（1）求∠BDA大小；
（2）求

AD

•

CB

Answer 1

分析：（1）要求∠BDA的大小，我們可根據(jù)∠BDA=∠DBC+∠C，結(jié)合題目已知的：cosC=

2 2

7

，cosC=

2 2

7

，結(jié)合兩角和的余弦公式，即可求解．
（2）由（1）的結(jié)論，我們易求出△ABC中各邊的長(zhǎng)，再由D是AC上一點(diǎn)，

AD

=2

DC

，我們將相關(guān)數(shù)據(jù)代入平面向量數(shù)量積公式即可求解．

解答：解：（1）cos∠BDA=cos（∠DBC+∠C）
=

5 7

14

•

2 7

7

-

21

14

•

21

7

=

1

2

又由∠BDA形內(nèi)角
∴∠BDA=

π

3

（2）設(shè)DC=x，BC=a
在△BDC中，由正弦定理易得：
a=

3

2

x•

14

21

=

7

x
在△ABC中，AC=3x，BC=

7

x，AB=2
∴cosC=

2 7

7

=

7x2+9x2-4

2 7 x•3x

解得x=1
∴

AD

•

CB

=

2

3

AC

•

CB

=

2

3

•3•

7

•(-

2 7

7

)=-4

點(diǎn)評(píng)：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算公式是向量中最重要的知識(shí)點(diǎn)之一，它在證明線線關(guān)系，解三角形中都有廣泛應(yīng)用，大家一定要熟練掌握．