Question

數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ+1，求{a_n}的通項．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先利用遞推關(guān)系式，求得當n≥2時，an=2an-1-2n-1然后利用構(gòu)造新數(shù)列

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

說明新數(shù)列是等差數(shù)列，進一步求出通項公式．

解答： 解：數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ+1①
則：n≥2時，Sn-1=2an-1-2n-1+1②
所以：①-②得：an=2an-2an-1-2n+2n-1
整理得：an=2an-1-2n-1
所以：

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

（常數(shù)）
數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

為首項

1

2

位公差的等差數(shù)列．
當n=1時解得：a₁=1
所以：

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)
解得：an=n•2n-1
a₁=1符合該通項公式．
an=n•2n-1

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關(guān)系式和構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題型．