Question

已知O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（-2，0）的直線l與圓x²+y²=1交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若，求直線l的方程；
（Ⅱ）若，求直線l與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）|PQ|是圓內(nèi)的弦長(zhǎng)，再由半徑，可求弦心距；即圓心到直線l的距離d；因?yàn)橹本�l過(guò)點(diǎn)M，可設(shè)直線l的點(diǎn)斜式，求出斜率，寫出直線方程．
（Ⅱ）由，可設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)表示可得P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式①；
P、Q兩點(diǎn)是直線與圓的交點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足圓的方程，得到關(guān)系式②；①②組成方程組，解得P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）依題意，直線l的斜率存在，
因?yàn)橹本�l過(guò)點(diǎn)M（-2，0），可設(shè)直線l：y=k（x+2）．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224346416236421/SYS201311012243464162364017_DA/1.png">，圓的半徑為1，且P，Q兩點(diǎn)在圓x²+y²=1上，
所以，圓心O到直線l的距離d=．
即：d=，
所以，，
所以直線l的方程為或．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
所以，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224346416236421/SYS201311012243464162364017_DA/9.png">，
所以，即（*）；
因?yàn)?P，Q兩點(diǎn)在圓上，
所以，，把（*）代入，得，
所以，，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為或，Q點(diǎn)坐標(biāo)為或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，向量的坐標(biāo)表示，二元二次方程組的解法等知識(shí)，計(jì)算能力要求高，是中檔題．