設(shè)整數(shù)n≥4，P（a，b） 是平面直角坐標(biāo)系xOy 中的點(diǎn)，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．
（1）記An 為滿足a-b=3 的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)，求An；
（2）記Bn 為滿足 是整數(shù)的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)，求Bn．
【答案】分析：（1）An 為滿足a-b=3 的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)，顯然P（a，b）的坐標(biāo)的差值，與An中元素個(gè)數(shù)有關(guān)，直接寫出An的表達(dá)式即可．
（2）設(shè)k為正整數(shù)，記fn（k）為滿足題設(shè)條件以及a-b=3k的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，討論fn（k）≥1的情形，推出fn（k）=n-3k，根據(jù)k的范圍，說明n-1是3的倍數(shù)和余數(shù)，
然后求出Bn．
解答：解：（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)中，滿足條件：1≤b=a-3≤n-3，所以An=n-3；
（2）設(shè)k為正整數(shù)，記fn（k）為滿足題設(shè)條件以及a-b=3k的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，只要討論fn（k）≥1的情形，由1≤b=a-3k≤n-3k，
知fn（k）=n-3k且，設(shè)n-1=3m+r，其中m∈N+，r∈{0，1，2}，則k≤m，所以
Bn===mn-=
將m=代入上式，化簡得Bn=
所以Bn=
點(diǎn)評(píng)：本題是難題，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和的方法，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，解題中注意整除知識(shí)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于數(shù)列{xn}，如果存在一個(gè)正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把這樣一類數(shù)列{xn}稱作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱作數(shù)列{xn}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當(dāng)xn=2時(shí)，{xn}是周期為1的周期數(shù)列，當(dāng)yn=sin(
π
2
n)時(shí)，{yn}的周期為4的周期數(shù)列．
（1）設(shè)數(shù)列{an}滿足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同時(shí)為0），且數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，求常數(shù)λ的值；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說明理由；
②若anan+1＜0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說明理由．
（3）設(shè)數(shù)列{an}滿足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，試問是否存在p、q，使對(duì)任意的n∈N*都有p≤
Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范圍；不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)整數(shù)n≥4，P（a，b） 是平面直角坐標(biāo)系xOy 中的點(diǎn)，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．
（1）記An 為滿足a-b=3 的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)，求An；
（2）記Bn 為滿足
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(a-b) 是整數(shù)的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)，求Bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合P={1，2，3，4，5}，對(duì)任意k∈P和正整數(shù)m，記f(m，k)=，其中[a]表示不大于a的最大整數(shù)。求證：對(duì)任意正整數(shù)n，存在k∈P和正整數(shù)m，使得f(m，k)=n。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇高考真題 題型：解答題

設(shè)整數(shù)n≥4，P（a，b）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b，
（1）記An為滿足a-b=3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求An；
（2）記Bn為滿足（a-b）是整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求Bn。

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