Question

14．已知四棱錐E-A BCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=1，△BCE為等邊三角形，且面BCE⊥面ABCD，點F為CE中點．
（Ⅰ）求證：DF∥面ABE；
（Ⅱ）若ABCD為等腰梯形，且AB=1，求三棱錐B一CDF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE中點M，連接AM，MF，則MF∥BC，MF=$\frac{1}{2}$BC，證明四邊形ADFM是平行四邊形，可得AM∥DF，即可證明：DF∥面ABE；
（Ⅱ）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求三棱錐B一CDF的體積．

解答 （Ⅰ）證明：取BE中點M，連接AM，MF，則MF∥BC，MF=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD∥MF，AD=MF，
∴四邊形ADFM是平行四邊形，
∴AM∥DF，
∵AM?面ABE，DF?面ABE，
∴DF∥面ABE；
（Ⅱ）解：由△BCE為等邊三角形，面BCE⊥面ABCD，BC=2，
可得點E到平面ABCD的距離為$\sqrt{3}$，
∴點F到平面ABCD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵ABCD為等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，
∴S_△BCD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_B-CDF=V_F-BCD=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查求三棱錐B一CDF的體積，證明四邊形ADFM是平行四邊形是關(guān)鍵．