設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）過M（2，
2
），N（
6
，1）兩點(diǎn)，求橢圓E的方程；
（2）若a＞b＞0，兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足
F1M
•
F2M
=0，求橢圓離心率的范圍．
（3）在（1）的條件下，是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且
OA
⊥
OB
？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由．
分析：（1）設(shè)橢圓E的方程為：mx2+ny2=1，將M（2，
2
），N（
6
，1）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得橢圓E的方程；
（2）設(shè)M（x，y），求出向量
F1M
與
F2M
，結(jié)合
F1M
•
F2M
=0及橢圓的性質(zhì)，可得離心率的范圍．
（3）假設(shè)存在這樣的圓，設(shè)該圓的切線為y=kx+m，由
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，知（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理能求出|AB|取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)橢圓E的方程為：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），
由由橢圓過點(diǎn)M、N得
4m+2n=1
6m+n=1
，解得
m=
1
8
n=
1
4
，
所以橢圓E的方程為：
x2
8
+
y2
4
=1；
（2）設(shè)M（x，y），
F1M
=（x+c，y），
F2M
=（x-c，y），
由
F1M
•
F2M
=0，得（x+c，y）•（x-c，y）=x2-c2+y2=0①，
又M在橢圓上，所以
x2
a2
+
y2
b2
=1，得y2=b2(1-
x2
a2
)，
代入①式得x2-c2+b2(1-
x2
a2
)=0，化簡得
c2
a2
x2=c2-b2，
則有c2-b2≥0，即c≥b，
兩邊平方得c2≥b2，即c2≥a2-c2，
所以
c2
a2
≥
1
2
，解得
c
a
≥
2
2
，即e≥
2
2
．
所以橢圓離心率的范圍為：[
2
2
，1）．
（3）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且
OA
⊥
OB
，
設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，A（ x1，y1），B（ x2，y2）．
由
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
則△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0（*）
則x1+x2=
-4km
1+2k2
，x1x2=
2m2-8
1+2k2

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•
2m2-8
1+2k2
+km
-4km
1+2k2
+m2=
m2-8k2
1+2k2

要使
OA
⊥
OB
，需使x1x2+y1y2=
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0，
所以3m2-8k2-8=0，所以k2=
3m2-8
8
≥0
結(jié)合（*）可得
m2＞2
3m2≥8
，解得m≥
2
6
3
或m≤-
2
6
3
，
因?yàn)橹本�y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=
|m|
1+k2
=
2
6
3
，
所求的圓為x2+y2=
8
3
，
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x=±
2
6
3
與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1的兩個(gè)交點(diǎn)為（
2
6
3
，±
2
6
3
）或（-
2
6
3
，±
2
6
3
）
滿足
OA
⊥
OB
，（其實(shí)與y軸垂直時(shí)的切線方程結(jié)果是一樣的，因?yàn)榇藭r(shí)圓與橢圓相切）
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=
8
3
，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且
OA
⊥
OB
．
∵|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
32(4k4+5k2+1)
3(4k4+4k2+1)
=
32
3
(1+
k2
4k4+4k2+1
)
，
①當(dāng)k≠0時(shí)，|AB|=
32
3
(1+
1
4k2+
1
k2
+4
)

因?yàn)?span id="dhc44lw" class="MathJye">4k2+
1
k2
+4≥8，所以
4
6
3
＜|AB|≤2
3
（當(dāng)且僅當(dāng)k=±
2
2
時(shí)取”=”）．
當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=
4
6
3
．
綜上，|AB|的取值范圍為[
4
6
3
，2
3
]
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)M(2.
2
)，N(
6
，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個(gè)交點(diǎn)A，B且
OA
⊥
OE
？若存在，寫出該圓的方程，關(guān)求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過M（2，
2
），N（
6
，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且
OA 
⊥
OB 
？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，A是橢圓E上一點(diǎn)，AF1⊥F1F2，原點(diǎn)到直線AF2的距離是
1
3
|OF1|．△AF1F2 的面積是等于橢圓E的離心率e，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ），若直線l：y=x+m與橢圓E交于B、C兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)m使∠BF2C為鈍角？如果存在，求出m的范圍；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，已知A（a，0），B（0，-b），且原點(diǎn)O到直線AB的距離為
2
3
3

（Ⅰ）  求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過點(diǎn)M（1，0）的直線交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，若存在動(dòng)點(diǎn)N，使得直線NC，NM，ND的斜率依次成等差數(shù)列，試確定點(diǎn)N的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，且過點(diǎn)M（2，
2
），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在以圓心為原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且
OA
⊥
OB
？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．

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