如圖所示,定橢圓=1(a>b>0)上的動點P不重合于短軸兩端點B1與B2,設(shè)兩直線B1P、B2P與x軸分別相交于點M、N.問|OM|·|ON|是否為定值?

      

解析:取P(a,0),則M(a,0)、N(a,0),從而?|OM|·|ON|=a2;?

       取P(c,),則M(,0),N(,0).?

       故|OM|·|ON|=a2.?

       于是猜想|OM|·|ON|=a2為定值.?

       證明:設(shè)P(acosθ,bsinθ),其中|sinθ|≠1,?

       且設(shè)M(x1,0),N(x2,0).?

       ∵三點B、M、P共線,且三點B2、N、P共線,?

       ∴,,?

       即x1=,x2=.?

       則|OM|·|ON|=|x1|·|x2|=|x1·x2|?

       =||=||＝a2(定值).?

       故|OM|·|ON|為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中，F(xiàn)1（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點和上頂點，點O是橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a取定值時，點H必為定點；
（Ⅱ）如圖所示，當(dāng)點P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切，且四邊形ABPH的面積等于3+
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

作斜率為
1
3
的直線l與橢圓C：
x2
36
+
y2
4
=1交于A，B兩點（如圖所示），且P(3
2
，
2
)在直線l的左上方．
（1）證明：△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上；
（2）若∠APB=60°，求△PAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
 x2   
b2
+
y2    
a2
=1(a＞b＞0)的焦點為F1（0，c），F(xiàn)2（0，-c）（c＞0），拋物線x2=2py（p＞0）的焦點與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點在第一象限，且與橢圓C相交于A，B兩點，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）當(dāng)λ∈[2，4]時，求橢圓的離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：全優(yōu)設(shè)計選修數(shù)學(xué)－1-1蘇教版 蘇教版 題型：044

如圖所示，A為橢圓＝1(a＞b0)上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F1、F2．當(dāng)AC垂直于x軸時，恰好AF1∶AF2＝3∶1．

(1)求該橢圓的離心率；

(2)設(shè)，試判斷λ1＋λ2是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．

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