過定點P(0,1),且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線方程為________.
y=1,或 x=0,或 x-2y+2=0
分析:設(shè)直線l的斜率等于k,則當 k=0時,直線l與陪我想的對稱軸平行,所以此時直線與拋物線只有有關(guān)公共點.再討論直線與拋物線相切的情況,注意要分斜率存在于斜率不存在兩種情況討論.
解答:①設(shè)直線l的斜率等于k,則當 k=0時,直線l的方程為 y=1,滿足直線與拋物線y
2=2x僅有一個公共點,
當k≠0時,直線l是拋物線的切線,設(shè)直線l的方程為 y=kx+1,
代入拋物線的方程可得:
k
2x
2+(2k-2)x+1=0,根據(jù)判別式等于0,求得 k=
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,故切線方程為 y=
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x+1.
②當斜率不存在時,直線方程為x=0,經(jīng)過檢驗可得此時直線也與拋物線y
2=2x相切.
故答案為:y=1,或 x=0,或 x-2y+2=0.
點評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握只有一個公共點的概念,即直線與拋物線相切或者直線與拋物線的對稱軸平行.