Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-（cos²x-sin²x）-1，x∈R，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后得函數(shù)g（x）的圖象，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)銳角ABC三個(gè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．若g（B）=0且=（cosA，cosB），=（1，sinA-cosAtanB），求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，得f（x）=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1
因此，f（x）的最小正周期T==π
令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[+2kπ，+2kπ]，k∈Z
（2）∵將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后得函數(shù)g（x）的圖象，
∴g（x）=f（x+）=sin[2（x+）-]=sin（2x+）-1
由此可得g（B）=sin（2B+）-1=0，結(jié)合B∈（0，）可解得B=
∴=（cosA，cosB）=（cosA，），=（1，sinA-cosAtanB）=（1，sinA-cosA），
因此，=cosA+（sinA-cosA）=sinA+cosA=sin（A+），
∵A∈（0，），C=-A∈（0，）
∴＜A＜，得A+∈（，）
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得sin（A+）∈（，1）
即的取值范圍是（，1）．
分析：（1）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)得f（x）=sin（2x-）-1，再結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象平移公式，可得g（x）=f（x+）=sin（2x+）-1，由g（B）=0可解得B=，從而得到向量、關(guān)于A的坐標(biāo)形式，得到=sin（A+），最后結(jié)合三角形為銳角三角形和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可算出的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和周期，并求在閉區(qū)間上的最值，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．