對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{xn}和函數(shù)f（x），若xn+1=f（xn）（n∈N+），則稱f（x）是數(shù)列{xn}的母函數(shù)．
（Ⅰ）定義在R上的函數(shù)g（x）滿足：對(duì)任意α，β∈R，都有g(shù)（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(
1
2
)=1；又?jǐn)?shù)列{an}滿足：an=g(
1
2n
)．
求證：（1）f（x）=x+2是數(shù)列{2nan}的母函數(shù)；
（2）求數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和Sn．
（Ⅱ）已知f(x)=
2012x+2
x+2013
是數(shù)列{bn}的母函數(shù)，且b1=2．若數(shù)列{
bn-1
bn+2
}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．
分析：（I）（1）由題知a1=g(
1
2
)=1，利用g（αβ）=αg（β）+βg（α），及an=g(
1
2n
)，可得2n+1an+1=2nan+2，即可證明f（x）=x+2是數(shù)列{2nan}的母函數(shù)．
（2）由（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出2nan，再利用“錯(cuò)位相減法”即可得出Sn．
（II）由f(x)=
2012x+2
x+2013
是數(shù)列{bn}的母函數(shù)，可得bn+1=
2012bn+2
bn+2013
，b1=2，變形為bn+1-1=
2011(bn-1)
bn+2013
，bn+1+2=
2014(bn+2)
bn+2013
可得
bn+1-1
bn+2+2
=
2011
2014
•
bn-1
bn+2
．從而得出{
bn-1
bn+2
}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得
bn-1
bn+2
=
1
4
(
2011
2014
)n-1．再根據(jù)0.99＜
2011
2014
＜0.999⇒
1
4
×0.99n-1＜
bn-1
bn+2
＜
1
4
×0.999n-1(n≥2)．累加求和即可證明．
解答：解：（I）（1）由題知a1=g(
1
2
)=1，
an+1=g(
1
2n+1
)=g(
1
2
•
1
2n
)=
1
2
g(
1
2n
)+
1
2n
g(
1
2
)=
1
2
g(
1
2n
)+
1
2n

⇒an+1=
1
2
an+
1
2n
⇒2n+1an+1=2nan+2，
∴f（x）=x+2是數(shù)列{2nan}的母函數(shù)．
（2）由（1）可知：數(shù)列{2nan}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2a1=2，公差d=2，
∴2nan=2+（n-1）×2=2n，解得an=
n
2n-1
．
∴Sn=1+
2
2
+
3
22
+…+
n
2n-1
，
∴
1
2
Sn=
1
2
+
2
22
+…+
n-1
2n-1
+
n
2n
，
∴
1
2
Sn=1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
-
n
2n
=
1-
1
2n
1-
1
2
-
n
2n
=2-
2+n
2n
，
∴Sn=4-
n+2
2n-1
．
（Ⅱ）bn+1=
2012bn+2
bn+2013
，b1=2，∴bn+1-1=
2011(bn-1)
bn+2013
，bn+1+2=
2014(bn+2)
bn+2013

⇒
bn+1-1
bn+1+2
=
2011
2014
•
bn-1
bn+2
．
從而{
bn-1
bn+2
}是以
b1-1
b1+2
=
1
4
為首項(xiàng)，
2011
2014
為公比的等比數(shù)列，
∴
bn-1
bn+2
=
1
4
(
2011
2014
)n-1．
又0.99＜
2011
2014
＜0.999⇒
1
4
×0.99n-1＜
bn-1
bn+2
＜
1
4
×0.999n-1(n≥2)．
故當(dāng)n≥2時(shí)，有
1
4
n
i=1
0.99i-1＜Tn＜
1
4
n
i=1
0.999i-1
⇒
1
4
•
1-0.99n
1-0.99
＜Tn＜
1
4
•
1-0.999n
1-0.999
，
∴25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、累加求和、新定義等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1a-x
-1（其中a為常數(shù)，x≠a）．利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{xn}，方法如下：
對(duì)于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…
在上述構(gòu)造過(guò)程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程就停止．
（Ⅰ）當(dāng)a=1且x1=-1時(shí)，求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得取定義域中的任一實(shí)數(shù)值作為x1，都可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn}？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a2-x2
x-2a
（a＞0）
（1）證明：f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
（2）求f（x）的值域．
（3）若對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1，都能構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn}，
使其滿足條件xn+1=f（xn）（n∈N*），求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x+1-aa-x
，a∈R．利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{xn}，方法如下：對(duì)于定義域中給定的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n∈N*），…如果取定義域中任一值作為x1，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn}．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若x1=1，求（x1+1）（x2+1）…（xn+1）的值；
（3）設(shè)Tn=（x1+1）（x2+1）…（xn+1）（n∈N*），試問(wèn)：是否存在n使得Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006成立，若存在，試確定n及相應(yīng)的x1的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意θ≠
kπ2
（k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，方法如下：
對(duì)于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述構(gòu)造過(guò)程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程就停止．
（ⅰ）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列，求a的取值范圍；
（ⅱ）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得取定義域中的任一值作為x1，都可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn}？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，若x1=-1，求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式．

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