Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）當(dāng)a=-3時，求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設(shè)g(x)=

19

6

x-

1

3

，是否存在實數(shù)x1=-

1

3

，對于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求出

1

3

≤h(x1)≤6的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）當(dāng)a=-3時，f（x）=x³+4x²-3x，f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）=0得：x₁=-3、x2=

1

3

所以f（x）在(-3，

1

3

)單調(diào)遞減．在(-∞，-3)，(

1

3

，+∞)單調(diào)遞增   
所以f（x）_極大=f（-3）=18，f（x）_極小=f(

1

3

)=-

14

27

，
（2）在[0，2]上g(x)=

19

6

x-

1

3

是增函數(shù)，故對于x₂∈[0，2]，g(x2)∈[-

1

3

，6]．
設(shè)h(x1)=f′(x1)+2ax1=3

x

21

+2x1-a(a+2)，x1∈[-1，1]．h'（x₁）=6x₁+2，
由h'（x₁）=0，得x1=-

1

3

．
要使對于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]使得h（x₁）=g（x₂）成立，只需在[-1，1]上，
-

1

3

≤h(x1)≤6，
在（-1，-

1

3

）上h′（x₁）＜0，在（-

1

3

，1）上h′（x₁）＞0，
∴x1=-

1

3

時，h（x₁）有極小值h(-

1

3

)=-

1

3

-a2-2a，
∵h(yuǎn)（-1）=1-a²-2a，h（1）=5-a²-2a，
∵在[-1，1]上，h（x₁）只有一個極小值，
故h（x₁）的最小值為-

1

3

-a2-2a，

1-a2-2a≤6 5-a2-2a≤6 - 1 3 -a2-2a≥- 1 3

，
解得-2≤a≤0．