求漸近線方程為y=±
3
4
x，且過點(diǎn)A(2
3
，-3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率．
分析：根據(jù)題意，設(shè)雙曲線方程為
x2
16
-
y2
9
=λ，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入算出λ=-
1
4
，從而得到雙曲線方程．再將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即可算出a、b、c的值，從而得到該雙曲線的離心率．
解答：解：∵雙曲線的漸近線方程為y=±
3
4
x，
∴設(shè)所求雙曲線方程為
x2
16
-
y2
9
=λ(λ≠0)
∵點(diǎn)A(2
3
，-3)在雙曲線上，
∴
12
16
-
9
9
=λ，解之得λ=-
1
4

∴所求雙曲線方程為
y2
9
4
-
x2
4
=1
∵a2=
9
4
，b2=4，∴可得c2=
25
4
，得c=
5
2

因此，雙曲線的離心率為：e=
c
a
=
5
3
點(diǎn)評：本題給出雙曲線的漸近線和它經(jīng)過的點(diǎn)A坐標(biāo)，求雙曲線的方程并求離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的一條漸近線方程為y=
3
x，且其中一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(
2
3
3
，0)
（1）求雙曲線的方程．
（2）若直線y-ax-1=0與該雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)a為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），過點(diǎn)（3，-2），離心率為
3
3
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）雙曲線的漸近線方程為y=±
3
4
x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），（5，0），求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C與橢圓x2+5y2=5有共同的焦點(diǎn)，且一條漸近線方程為y=
3
x
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)分別為F1、F2，過焦點(diǎn)F1作實(shí)軸的垂線與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線an-1y2-anx2=an-1an的一個焦點(diǎn)為(0，
cn
)(n≥2)，且c1=6，一條漸近線方程為y=
2
x，其中{an}是以4為首項(xiàng)的正數(shù)數(shù)列，記Tn=a1c1+a2c2+…+ancn（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，求
lim
n→∞
S
2
n
Tn
；
（3）若不等式
1
c1
+
2
c2
+…+
n
cn
+
n
3•2n
＜
1
3
+loga(2x+1)(a＞0，a≠1)對一切自然數(shù)n（n∈N*）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

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