Question

如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)，點(diǎn)B恰好經(jīng)過原點(diǎn)．設(shè)頂點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則對(duì)函數(shù)y=f（x）有下列判斷：
①函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；
②對(duì)任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1）；
③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減；
④

∫

2 0

f(x)dx=

π+1

2

．
其中判斷正確的序號(hào)是（　�。�

A．①③

B．①④

C．①②④

D．②③④

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的運(yùn)動(dòng)，得到點(diǎn)P的軌跡方程，然后根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答：解：當(dāng)-2≤x≤-1，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的

1

4

圓，
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，P的軌跡是以B為圓心，半徑為

2

的

1

4

圓，
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，P的軌跡是以C為圓心，半徑為1的

1

4

圓，
當(dāng)3≤x≤4時(shí)，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的

1

4

圓，∴函數(shù)的周期是4．
因此最終構(gòu)成圖象如下：
①根據(jù)圖象的對(duì)稱性可知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，∴①正確．
②由圖象即分析可知函數(shù)的周期是4．∴②錯(cuò)誤．
③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，∴③錯(cuò)誤．
④根據(jù)積分的幾何意義可知

∫

2 0

f(x)dx=

1

8

×π(

2

)2+

1

2

×1×1+

1

4

π×12=

π

4

+

π

4

+

1

2

=

π

2

+

1

2

，
∴④正確．
故答案為：①④，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的變化，其中根據(jù)已知畫出正方形轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的一個(gè)周期內(nèi)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)本題進(jìn)行分析是解答本題的關(guān)鍵．