Question

橢圓（a＞b＞0）與x軸，y軸的正半輛分別交于A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為，該橢圓的離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，且使成立（Q為直線(xiàn)l外的一點(diǎn)）？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，直線(xiàn)AB的方程為bx+ay-ab=0（a＞b＞0），利用原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為，橢圓的離心率為，建立方程，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）根據(jù)，可得，再分類(lèi)討論：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，M（0，-1），N（0，1），符合條件，此時(shí)直線(xiàn)方程x=0；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量條件，即可確定不存在．
解答：解：（Ⅰ）由題意，直線(xiàn)AB的方程為bx+ay-ab=0（a＞b＞0）
∵原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為，該橢圓的離心率為．
∴，
∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）∵，∴①
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，M（0，-1），N（0，1），符合條件，此時(shí)直線(xiàn)方程x=0；
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+，代入橢圓方程，消元可得
（9+36k²）x²+120kx+64=0
由△=14400k²-256（9+36k²）＞0，可得
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-②，x₁x₂=③，
由①得x₁=4x₂④，
由②③④消去x₁，x₂，可得=
∴9=0，矛盾
綜上，存在符合條件的直線(xiàn)l：x=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是直線(xiàn)與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解題．