Question

函數(shù)f（x）=ax³+bx（a≠0）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線6x+y+7=0平行，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為-12．
（1）求a、b的值；
（2）討論方程f（x）=m解的情況（相同根算一根）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f′（x）=3ax²+b的最小值為-12，可知b=-12，且a＞0，根據(jù)直線6x+y+7=0的斜率為-6，可得f'（1）=3a+b=-6，所以a=2；
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x，，從而可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，）和，進(jìn)而可知f（x）在時(shí)取得極大值為，f（x）在時(shí)取得極小值為，由此可確定方程解的情況．
解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+b的最小值為-12
∴b=-12，且a＞0
又直線6x+y+7=0的斜率為-6
∵函數(shù)f（x）=ax³+bx（a≠0）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線6x+y+7=0平行
∴f'（1）=3a+b=-6
∴a=2
∴a=2，b=-12
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x，，列表如下：

x	（-∞，）
f′	+		-		+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，）和
∴f（x）在時(shí)取得極大值為，f（x）在時(shí)取得極小值為
∴當(dāng)或時(shí)，方程有一根；
當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根
點(diǎn)評(píng)：本題以導(dǎo)函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，考查方程解的討論，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的極值，從而確定方程解的情況．