Question

若函數(shù)y=f（x）（x∈R）為偶函數(shù)，且滿足f（x+1）=-f（x），當x∈[0，1]時f（x）=2^x-1，則函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=lg（|x|）的圖象的交點個數(shù)為（ ）
A．16
B．18
C．20
D．無數(shù)個

Answer 1

【答案】分析：由已知條件可得出函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性，并畫出圖象即可得出答案．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是一個周期為2的函數(shù)．
先作出當x∈[0，1]時f（x）=2^x-1的函數(shù)圖象，
由圖象可知：0≤f（x）≤1．
又∵函數(shù)y=f（x）（x∈R）為偶函數(shù)，∴當x∈[-1，0]時的圖象與x∈[0，1]時的圖象關于y軸對稱．
再根據(jù)其周期性即可作出整個函數(shù)y=f（x）的圖象．
先作出函數(shù)y=lgx（x＞0）時的圖象，
又函數(shù)y=lg|x|在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時是偶函數(shù)，因此函數(shù)y=lg|x|的圖象關于y軸對稱．
當1≤x≤10時，0≤lgx≤1，此時函數(shù)y=f（x）與此圖象有9個交點，
當0＜x＜1或10＜x時，函數(shù)y=f（x）與y=lgx無交點；
又∵函數(shù)y=f（x）與y=lg|x|都是偶函數(shù)，∴當x＜0時也有9個交點，
故共有18個交點．
故選B．
點評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是解題的關鍵．