已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn,且滿足
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)
(Ⅲ)設(shè),求證:
【答案】分析:(Ⅰ)由2=an+1,知,故2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an),所以(an+1+an)(an+1-an-2)=0,由此能夠證明數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=1,公差d=2的等差數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=a1+(n-1)d=2n-1,由=,知Tn=b1+b2+…+bn=,再由錯(cuò)位相減法能夠求出
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:=,故==,由此能夠證明
解答:(Ⅰ)證明:∵2=an+1,
,
∴an+1=Sn+1-Sn=-
=,
即:2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an),
∴(an+1+an)(an+1-an-2)=0,
∵an>0,∴an+1+an>0,∴an+1-an-2=0,
∴an+1-an=2,
當(dāng)n=1時(shí),S1=,即a1=,
,解得a1=1.
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=1,公差d=2的等差數(shù)列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:an=a1+(n-1)d=2n-1,
=,
∴Tn=b1+b2+…+bn=,①
=,②
①-②得:
=
=,

(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)得:=

==,
∴c1+c2+c3+…+cn=
=,

點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*
(1)求證:數(shù)列{
an
2n+1
}
為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an
(2)設(shè)bn=
1
an
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,并求Sn的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:稱
n
a1+a2+…+an
為n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an的“均倒數(shù)”,已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n
,則
lim
n→∞
nan
sn
( 。
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列an中,a1=2,點(diǎn)(
an
an+1)
在函數(shù)y=x2+1的圖象上,數(shù)列bn中,點(diǎn)(bn,Tn)在直線y=-
1
2
x+3
上,其中Tn是數(shù)列bn的前項(xiàng)和.(n∈N+).
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
(1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(2)記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1log2bn+2
}
的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式Tn<log0.5(a2-
1
2
a)
對(duì)?n∈N+恒成立?若存在,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列{an},Sn=
1
8
(an+2)2

(1)求證:{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=
1
2
an-30
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

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