Question

設(shè)（a∈R）．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，若在上至少存在一點(diǎn)x，使f（x）＞e-1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論a的取值，使x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，求出變量a的范圍．
（2）要在上至少存在一點(diǎn)x，使f（x）＞e-1成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，f（x）_max＞e-1，根據(jù)第一問(wèn)可求出
f（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值即可．
解答：解：
當(dāng)a-1≤0時(shí)，

當(dāng)0＜a-1＜1時(shí)，

當(dāng)a-1=1時(shí)，

當(dāng)a-1＞1時(shí)，

綜上所述，當(dāng)a-1＞1，即a＞2時(shí)，x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．（7分）
（2）在上至少存在一點(diǎn)x，使f（x）＞e-1成立，等價(jià)于
當(dāng)時(shí)，f（x）_max＞e-1．（9分）
由（1）知，①當(dāng)，即時(shí)，
函數(shù)f（x）在上遞減，在[1，e]上遞增，∴．
由，解得．
由，解得a＜1∵，∴?a＜1；（12分）
②當(dāng)a≥1+e，即a-1≥e時(shí)，函數(shù)f（x）在上遞增，在[1，e]上遞減，f（x）_max=f（1）=2-a≤1-e＜e-1．
綜上所述，當(dāng)a＜1時(shí)，在上至少存在一點(diǎn)x，使f（x）＞e-1成立．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及存在性問(wèn)題，屬于中檔題．