Question

已知雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)是F₂（2，0），且．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)F₂的直線l的一個(gè)法向量為（m，1），當(dāng)直線l與雙曲線C的右支相交于A，B不同的兩點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；并證明AB中點(diǎn)M在曲線3（x-1）²-y²=3上．
（3）設(shè)（2）中直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得∠AOB為銳角？若存在，請(qǐng)求出m的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)半焦距c和a與b的關(guān)系聯(lián)立方程求得a和b，則雙曲線方程可得．
（2）把直線l與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0判斷出直線與雙曲線定有交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求得焦點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積得表達(dá)式，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求得m的范圍．設(shè)A，B的坐標(biāo)，則可知其中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲線3（x-1）²-y²=3等式成立，可判斷出AB的中點(diǎn)在此曲線上．
（3）設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使∠AOB為銳角，根據(jù)判斷出x₁x₂+y₁y₂＞0，根據(jù)（2）中求得x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而可去知y₁y₂的表達(dá)式，進(jìn)而求得根據(jù)x₁x₂+y₁y₂＞0求得m的范圍，結(jié)果與m²＞3矛盾，假設(shè)不成立，判斷出這樣的實(shí)數(shù)不存在．
解答：解：（1）c=2c²=a²+b²
∴4=a²+3a²∴a²=1，b²=3，∴雙曲線為．
（2）l：m（x-2）+y=0由得（3-m²）x²+4m²x-4m²-3=0
由△＞0得4m⁴+（3-m²）（4m²+3）＞012m²+9-3m²＞0即m²+1＞0恒成立


∴m²＞3∴
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∴
∵
∴M在曲線3（x-1）²-y²=3上．

（3）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使∠AOB為銳角，
∴x₁x₂+y₁y₂＞0
因?yàn)閥₁y₂=（-mx₁+2m）（-mx₂+2m）=m²x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²
∴（1+m²）x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²＞0
∴（1+m²）（4m²+3）-8m⁴+4m²（m²-3）＞0即7m²+3-12m²＞0
∴，與m²＞3矛盾
∴不存在
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．