與向量、圓交匯.例5:已知F1、F2分別為橢圓C1的上、下焦點,其中F1也是拋物線C2:x2=4y的焦點,點M是C1與C2在第二象限的交點,且
(1)求橢圓C1的方程;
(2)已知點P(1,3)和圓O:x2+y2=b2,過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A,B,在線段AB上取一點Q,滿足:,,(λ≠0且λ≠±1).問點Q是否總在某一定直線上?若在,求出這條直線,否則,說明理由.

【答案】分析:(1)由拋物線C2的定義得y,進(jìn)而得點M的坐標(biāo),代入橢圓的方程可得a,b的值;
(2)由設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),由可得:(1-x1,3-y1)=-λ(x2-1,y2-3).
解答:解:(1)由C2:x2=4y知F1(0,1),設(shè)M(x,y)(x<0),因M在拋物線C2上,
故x2=4y
,則②,由①②解得.而點M橢圓上,
故有,即③,又c=1,則b2=a2-1④
由③④可解得a2=4,b2=3,∴橢圓C1的方程為
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),
可得:(1-x1,3-y1)=-λ(x2-1,y2-3),即
可得:(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即
⑤×⑦得:x122x22=(1-λ2)x,⑥×⑧得:y122y22=3y(1-λ2
兩式相加得(x12+y12)-λ2(x22+y22)=(1-λ2)(x+3y)
又點A,B在圓x2+y2=3上,且λ≠±1,所以x12+y12=3,x22+y22=3
即x+3y=3,∴點Q總在定直線x+3y=3上.
點評:本題巧妙地將向量、圓、直線、橢圓與拋物線交匯在一起.充分體現(xiàn)了實施新課標(biāo)后,高考對圓錐線的考查方向與特色--注重直觀(數(shù)形結(jié)合)與整體運算(降低運算量).
練習(xí)冊系列答案
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y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的上、下焦點,其中F1也是拋物線C2:x2=4y的焦點,點M是C1與C2在第二象限的交點,且|MF1|=
5
3

(1)求橢圓C1的方程;
(2)已知點P(1,3)和圓O:x2+y2=b2,過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A,B,在線段AB上取一點Q,滿足:
AP
=-λ
PB
AQ
QB
,(λ≠0且λ≠±1).問點Q是否總在某一定直線上?若在,求出這條直線,否則,說明理由.

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