Question

設(shè)函數(shù)f（x）＝＋ax－lnx（a∈R）．

（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅱ）當(dāng)a≥2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（Ⅲ）若對任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），無極大值;（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減 ，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值,只需對函數(shù)求導(dǎo),求出導(dǎo)數(shù)等零點(diǎn),及在零點(diǎn)兩邊的單調(diào)性,注意, 求函數(shù)的極值不要忽略求函數(shù)的定義域;（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性,只需判斷的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào),因此,此題先求導(dǎo),在判斷符號(hào)時(shí),發(fā)現(xiàn)參數(shù)的取值對有影響,需對參數(shù)討論,分,與兩種情況,從而確定單調(diào)區(qū)間;（Ⅲ）對任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，只需求出的最大值即可.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122310325676728181/SYS201312231034501320791180_DA.files/image017.png">，當(dāng)時(shí)， 令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，無極大值 ；

（Ⅱ）

，，①當(dāng)即時(shí)，上是減函數(shù)，②當(dāng)，即時(shí)，令，得,令，得

綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減 ，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值，， ，

而經(jīng)整理得 ．

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的基本推理能力，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.