已知向量a=(sinx，
3
)，b=（2cosx，cos2x），函數(shù)f（x）=a•b．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式和它的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）請根據(jù)y=f（x）的圖象是由y=sinx的圖象平移和伸縮變換得到的過程，補充填寫下面的內(nèi)容．
（以下兩小題任選一題，兩題都做，以第1小題為準）
①把y=sinx的圖象由
 
得到
 
的圖象，再把得到的圖象上的所有點的橫坐標縮小為原來的一半（縱坐標不變），得到
 
的圖象，最后把圖象上的所有點的縱坐標伸長為原來的2倍（橫坐標不變），得到
 
的圖象；
②把y=sinx的圖象上的所有點的橫坐標縮小為原來的一半（縱坐標不變），得到
 
的圖象，再將得到的圖象向左平移
 
單位，得到
 
的圖象；最后把圖象上的所有點的縱坐標伸長為原來的2倍（橫坐標不變），得到
 
的圖象．
分析：（I）把a，b代入函數(shù)f（x）=a•b，即可得到函數(shù)f（x）的解析式，對解析式化簡整理得f（x）=2sin（2x+
π
3
），再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出單調(diào)遞減區(qū)間．
（II）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象左加右減，上加下減的原則即可得出答案．
解答：解：（I）f(x)=a•b=2sinx•cosx+
3
cos2x
=2sinx+
3
cos2x=2sin(2x+
π
3
)
∴
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
+2kπ，k∈Z
π
12
+kπ≤x≤
7π
12
+kπ，k∈Z
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[
π
12
+kπ，
7π
12
+kπ]，k∈Z
（II）①左平移
π
3
個單位；
y=sin(x+
π
3
)；
y=sin(2x+
π
3
)；
y=2sin(2x+
π
3
)；
②y=sin2x，
π
6

y=sin(2x+
π
3
)；
f(x)=2sin(2x+
π
3
)．
點評：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換和正弦函數(shù)的單調(diào)性問題．屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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