Question

(本小題滿(mǎn)分12分)已知二次函數(shù)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1,1)，反比例函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，
（1）求函數(shù)的表達(dá)式；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解.

Answer 1

（1）由已知，設(shè)，由，得，∴……2分
設(shè)，它的圖象與直線的交點(diǎn)分別為
由，得
∴故……4分
（2）證明：由，得
即 ……5分
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出和的大致圖象如圖，其中的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，的圖象是以為頂點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線.

∴與的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn)，
即有一個(gè)負(fù)數(shù)解.…… 8分
又∵
當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，在第一象限的圖象上存在一點(diǎn)在圖象的上方.
∴與的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，
即有兩個(gè)正數(shù)解.
∴方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解.…… 12分

略