Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)b=-12時令由f′(x)=

2x2+2x-12

x+1

=0得x=2則可判斷出當(dāng)x∈[1，2）時，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，3]時，f（x）單調(diào)遞增故f（x）在[1，3]的最小值在x=2時取得．
（2）要使f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值即f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個不同的交點即使f′(x)=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有兩個不等實根即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根這可以利用一元二次函數(shù)根的分布可得

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

解之求b的范圍．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（1，+∞）
b=-12時，由f′(x)=

2x2+2x-12

x+1

=0，得x=2（x=3舍去），
當(dāng)x∈[1，2）時f^′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，3]時，f^′（x）＞0，
所以當(dāng)x∈[1，2）時，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，3]時，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（2）=4-12ln³
（2）由題意f′(x)=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，
設(shè)g（x）=2x²+2x+b，則

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

，解之得0＜b＜

1

2

點評：本題第一問較基礎(chǔ)只需判斷f（x）在定義域的單調(diào)性即可求出最小值．而第二問將f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值問題利用數(shù)形結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化為f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個不同的交點即f′(x)=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有兩個不等實根即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根此時可利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解．