Question

13．已知圓心為H的圓x²+y²+2x-15=0和定點A（1，0），B是圓上任意一點，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M，當點B在圓上運動時，點M的軌跡記為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）設直線m與曲線C交于P，Q兩點，O為坐標原點，若∠POQ=90°，問$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$是否為定值？若是求其定值，若不是說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程求出圓心坐標和半徑，由|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4可得點M的軌跡是以A，H為焦點，4為長軸長的橢圓，則其標準方程可求；
（2）分類討論，設直線OP方程為y=kx（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立可得x²，y²．進而得到|OP|²，同理得到|OQ|²，即可證明為定值．

解答 解：（1）由x²+y²+2x-15=0，得（x+1）²+y²=4²，
∴圓心為H（-1，0），半徑為4，
連接MA，由l是線段AB的中垂線，得|MA|=|MB|，
∴|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4，
又|AH|=2＜4，
故點M的軌跡是以A，H為焦點，4為長軸長的橢圓，其方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設直線OP方程為y=kx（k≠0），聯(lián)立橢圓方程，解得${x}^{2}=\frac{12}{3+4{k}^{2}}，y=\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴|OP|²=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$．
同理解得|OQ|²=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$．
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{7}{12}$，
OP斜率不存在時，|OP|²=3，|OQ|²=4，$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{7}{12}$
綜上所述，$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{7}{12}$是定值．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查學生的計算能力，屬中檔題．