Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-x+lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，證明：f（x₁）+f（x₂）＜2ln2-3．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,證明題,分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)，討論判別式△=1-8a，△≤0，△＞0，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當且僅當0＜a＜

1

8

時，f（x）有極小值點x₁，極大值點x₂，化簡f（x₁）+f（x₂），注意運用方程根的定義和韋達定理，令g（a）=-

1

4a

-1-ln（2a），a∈（0，

1

8

），求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，運用單調(diào)性即可得證．

解答： （Ⅰ）解：f′（x）=2ax-1+

1

x

=

2ax2-x+1

x

（x＞0），
當a≥

1

8

時，△=1-8a≤0，f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當0＜a＜

1

8

時，△＞0，方程2ax²-x+1=0有兩個不相等的正根，
x₁=

1- 1-8a

4a

，x₂=

1+ 1-8a

4a

，x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

，
當x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞），f′（x）＞0，x∈（x₁，x₂），f′（x）＜0，
這時f（x）不是單調(diào)函數(shù)．
綜上，a的取值范圍是[

1

8

，+∞）；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當且僅當0＜a＜

1

8

時，f（x）有極小值點x₁，極大值點x₂，
f（x₁）+f（x₂）=ax₁²-x₁+lnx₁+ax₂²-x₂+lnx₂
=

1

2

（x₁-1）-x₁+lnx₁+

1

2

（x₂-1）-x₂+lnx₂
=-

1

2

（x₁+x₂）-1+ln（x₁x₂）=-

1

4a

-1-ln（2a）
令g（a）=-

1

4a

-1-ln（2a），a∈（0，

1

8

），
則當a∈（0，

1

8

）時，g′（a）=

1

4a2

-

1

a

=

1-4a

4a2

＞0，
g（a）在（0，

1

8

）單調(diào)遞增，
所以g（a）＜g（

1

8

）=2ln2-3，
即f（x₁）+f（x₂）＜2ln2-3．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查二次方程的韋達定理及運用，考查構(gòu)造函數(shù)應用導數(shù)證明不等式，考查運算和邏輯推理能力，屬于中檔題．