Question

求函數(shù)f(x)=loga(x+

1

x

)(a＞0且a≠1)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：由x+

1

x

＞0 解得函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=x+

1

x

在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．再由復合函數(shù)的單調(diào)性求出a＞1時，及1＞a＞0時原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：由x+

1

x

＞0 解得x＞0，故函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
設x₁＜x₂，因為y（x₁）-y（x₂）=x1+

1

x1

-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
故當0＜x₁＜x₂＜1時，y（x₁）-y（x₂）＞0，y（x₁）＞y（x₂），
故當1＜x₁＜x₂ 時，y（x₁）＜y（x₂），y（x₁）＜y（x₂），
故函數(shù)y=x+

1

x

在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
再由復合函數(shù)的單調(diào)性可得
當a＞1時，f（x）=log_ay是增函數(shù)，故函數(shù)f(x)=loga(x+

1

x

)的減區(qū)間是（0，1），增區(qū)間是（1，+∞），
當 1＞a＞0時，f（x）=log_ay是減函數(shù)，故函數(shù)f(x)=loga(x+

1

x

)增區(qū)間是（0，1），減區(qū)間（1，+∞）．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，對數(shù)函數(shù)的定義域，復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．