Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求證：PC⊥AB；
（2）求點C到平面APB的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取AB中點D，連結(jié)PD，CD．證明AB⊥平面PCD，然后證明PC⊥AB；
（2）過C作CH⊥PD，垂足為H．說明CH的長即為點C到平面APB的距離，通過求解Rt△PCD，即可求點C到平面APB的距離．

解答： 解：（1）取AB中點D，連結(jié)PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．
∵AC=BC，∴CD⊥AB．∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB．
（2）由（1）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．
過C作CH⊥PD，垂足為H．
∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．
∴CH的長即為點C到平面APB的距離．
由（1）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴PC⊥平面ABC．
∵CD?平面ABC，∴PC⊥CD．
在Rt△PCD中，CD=

1

2

AB=

2

，PD=

3

2

PB=

6

，
∴PC=

PD2-CD2

=2．CH=

PC×CD

PD

=

2 3

3

． 
∴點C到平面APB的距離為

2 3

3

．

點評：本題考查點到平面的距離的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．