Question

（本題滿分13分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線軸于點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍．

（I）求點(diǎn)的軌跡方程；

（II）設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)的軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)，直線交點(diǎn)的軌跡于，兩點(diǎn)（，與點(diǎn)不重合），且滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足，求直線的斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）

【解析】(1)先求出點(diǎn)D（-1，0），設(shè)點(diǎn)M（）,根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍，建立關(guān)于x,y的方程，然后化簡整理可得所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

（2）按斜率存在和斜率不存在兩種情況進(jìn)行討論.當(dāng)直線EF的斜率不存在時(shí)，O、P、K三點(diǎn)共線，直線PK的斜率為0.然后再設(shè)EF的方程它與橢圓方程聯(lián)立消y后得關(guān)于x的一元二次方程，然后根據(jù)，K點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）

可得,再借助直線方程和韋達(dá)定理建立m,b的方程，從而用m表示b,再代入直線方程可求出定點(diǎn)坐標(biāo).然后把KP的斜率表示成關(guān)于m的函數(shù)，利用函數(shù)的方法求其范圍.

（1）依題意知，點(diǎn)C（－4，0），由 得點(diǎn)D（－1，0）

設(shè)點(diǎn)M（），則：

整理得：

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為

（2）當(dāng)直線EF的斜率不存在時(shí)，由已知條件可知，O、P、K三點(diǎn)共線，直線PK的斜率為0.

當(dāng)直線EF的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線EF的方程為代入 ，整理

得

設(shè)

 

，K點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）

，代入整理得

解得：

當(dāng)時(shí)，直線EF的方程為恒過點(diǎn)，與已知矛盾，舍去.

當(dāng)時(shí)，

設(shè)，由 知

直線KP的斜率為

當(dāng)時(shí)，直線KP的斜率為0， 符合題意

當(dāng)時(shí)，

時(shí)取“=”）或≤－時(shí)取“=”）

或

綜合以上得直線KP斜率的取值范圍是.