Question

設f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，當x＞0時，f（x）＞1，且f（3）=4；
（1）求f（1），f（4）的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若關于x的不等式f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）的解集中最大的整數(shù)為2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可利用賦值求解f（1），f（4）
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義：設a＞0，則x+a＞x，結合由已知可得，f（x+a）-f（x）=f（x）+f（a）-f（x）-1=f（a）-1＞0從而可證
（3）結合（1）f（4）=5，及（2）中函數(shù)的單調(diào)性及f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）可得
當x＞0可得，x²+（a²-5）x+a＜0的解集中的最大整數(shù)為2，令g（x）=x²+（a²-5）x+a，則

g(3)≥0 g(2)≤0

解不等式可求
當x＜0時，此時不符合題意

解答：解：（1）由題意可得f（3）=f（2）+f（1）-1=4，f（2）=2f（1）-1
∴3f（1）-2=4，即f（1）=2，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=2f（2）-1=5
（2）由（1）可得函數(shù)為單調(diào)遞增的函數(shù)
證明如下：設a＞0，則x+a＞x
∵由題意可得，當x＞0時，f（x）＞1
∴f（a）＞1
由已知可得，f（x+a）-f（x）=f（x）+f（a）-f（x）-1=f（a）-1＞0
∴f（x+a）＞f（x）
由函數(shù)的單調(diào)性的定義可知函數(shù)單調(diào)遞增
（3）∵f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）
由（2）中函數(shù)單調(diào)遞增且f（4）=5可得|x|x+a²x+a＜5x
當x＞0可得，x²+（a²-5）x+a＜0的解集中的最大整數(shù)為2
令g（x）=x²+（a²-5）x+a，則

g(3)≥0 g(2)≤0

即

3a2+a-6≥0 2a2+a-6≤0

解可得

-1+ 73

6

≤a≤1
當x＜0時，x²+（5-a²）x-a＞0的解集中的最大整數(shù)為2，此時不符合題意

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)中利用賦值求解函數(shù)值及利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，屬于函數(shù)知識的綜合應用．