Question

拋物線C：y²=2px經(jīng)過點M（4，-4），
（1）不過點M的直線l分別交拋物線于A、B兩點，當(dāng)直線l的斜率為

1

2

，求證：直線MA與直線MB的傾斜角互補(bǔ)．
（2）不經(jīng)過點M的動直線l交拋物線C于P、Q兩點，且以PQ為直徑的圓過點M，那么直線l是否過定點？如果是，求定點的坐標(biāo)；如果不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）代入點M，即可得到拋物線方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程是y=

1

2

x+m，聯(lián)立拋物線方程，消去x，得到y(tǒng)的二次方程，運用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式，化簡整理即可得證；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ為直徑的圓過點M，則由

MP

⊥

MQ

，即有

MP

•

MQ

=0，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合拋物線方程，即可得y₁y₂-4（y₁+y₂）=32=0，再由直線方程，即可得到定點．

解答： （1）證明：拋物線C：y²=2px經(jīng)過點M（4，-4），
即有16=8p，解得，p=2．
則拋物線方程為y²=4x，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程是y=

1

2

x+m，
由

y= 1 2 x+m y2=4x

，得y²-8y+8m=0，

y1+y2=8 y1y2=8m

kAM+kBM=

y1+4

x1-4

+

y2+4

x2-4

=

4

y1-4

+

4

y2-4

=

4(y1+y2-8)

(y1-4)(y2-4)

=0，
則直線MA與直線MB的傾斜角互補(bǔ)．
（2）解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ為直徑的圓過點M，則由

MP

⊥

MQ

，
即有

MP

•

MQ

=0，
則（x₁-4）（x₂-4）+（y₁+4）（y₂+4）=0，
即(

y 2 1

4

-4)(

y 2 2

4

-4)+(y1+4)(y2+4)=0，
化簡，得y₁y₂-4（y₁+y₂）+32=0，
則過PQ的直線為y=

4

y1+y2

(x+

y1y2

4

)=

4

y1+y2

(x+

4(y1+y2)-32

4

)=

4

y1+y2

(x-8)+4，
則直線恒過定點（8，4）．

點評：本題考查拋物線方程和運用，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去未知數(shù)，運用韋達(dá)定理，考查直線和圓的方程，以及直線的斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．