Question

已知橢圓的離心率為，過頂點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)在橢圓上且滿足，求直線的斜率的值.

 

Answer 1

(1);（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：(Ⅰ)因?yàn)閑=,b=1,所以a=2,

故橢圓方程為. 4分

(Ⅱ)設(shè)l的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).

聯(lián)立，解得 (1+4k2)x2+8kx=0, 7分

因?yàn)橹本�l與橢圓C相交于兩點(diǎn)，所以△=(8k)2>0,所以x1+x2=，x1×x2=0，

∵ ∴

點(diǎn)M在橢圓上，則m2+4n2=4,∴,化簡(jiǎn)得

x1x2+4y1y2= x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)= (1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0, 10分

∴4k·()+4=0,解得k=±.故直線l的斜率k=±. 12分

考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓相交的綜合問題.