Question

如圖梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，過點C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，現(xiàn)將梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．
（1）求直線BD與平面ABCE所成角的正切值；
（2）設(shè)線段AB的中點為P，在直線DE上是否存在一點M，使得PM∥面BCD？若存在，請指出點M的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；

Answer 1

分析：（1）連接BE，因為梯形ABCD，∠A=90°，CE∥AB，所以DE⊥EC，由面DEC⊥面ABCE且交于EC，DE⊥面ABCE，知∠DBE為直線BD與平面ABCE所成角，由此能求出結(jié)果．
（2）當(dāng)M為線段DE的中點時，PM∥平面BCD取CD的中點N，連接BN，MN，則MN∥=

1

2

AB∥=PB，由此能夠求出點M，使得PM∥面BCD．

解答：（1）解：連接BE，因為梯形ABCD，∠A=90°，CE∥AB，
所以DE⊥EC，
又∵面DEC⊥面ABCE且交于EC，DE⊥面ABCE，
所以∠DBE為所求．
設(shè)BC=1，有AB=1 AD=2，所以DE=1 EB=

2

，
所以tan∠DBE=

DE

BE

=

2

2

．…（6分）
（2）解：存在點M，當(dāng)M為線段DE的中點時，PM∥平面BCD，
取CD的中點N，連接BN，MN，則MN∥=

1

2

AB∥=PB
所以PMNB為平行四邊形，所以PM∥BN
因為BN在平面BCD內(nèi)，PM不在平面BCD內(nèi)，
所以PM∥平面BCD．…（12分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．