Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R）．
（1）當(dāng)m=﹣1時(shí)，求不等式f（x）≤2的解集；
（2）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集為A，且[1，2]A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)m=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，不等式f（x）≤2，即|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，

故有 ①，或 ②，或 ③．

解①求得0≤x＜ ，解②求得 ≤x≤1，解③求得1＜x≤ ．

綜上可得，不等式f（x）≤2的解集為{x|0≤x≤ }

（2）解：由題意可得，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，

即|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|恒成立，即|x+m|≤（2x+1）﹣（2x﹣1）=2 恒成立，

∴﹣2≤x+m≤2 恒成立，即﹣x﹣2≤m≤2﹣m 恒成立，∴﹣3≤m≤0，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[﹣3，0]

【解析】（1）當(dāng)m=﹣1時(shí)，把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．（2）由題意可得，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，即﹣2≤x+m≤2 恒成立，即﹣x﹣2≤m≤2﹣m 恒成立，由此可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用絕對(duì)值不等式的解法對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．