Question

在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊．若向量=（2，0）與=（sinB，1-cosB）所成角為．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，求a+c的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得=，繼而可求得cosB=-，從而可知△ABC中角B的大��；
（Ⅱ）由（I）知B=，于是A+C=，利用正弦定理可知====2，從而a+c=2sinA+2sinC整理可得a+c=2sin（A+），繼而可求其最大值．
解答：解：（I）由題意得cos===，…（2分）
即=，
∴2sin²B=1-cosB，2cos²B-cosB-1=0，…（4分）
∴cosB=-或cosB=1（舍去），…（5分）
∵0＜B＜π，
∴B=．…（6分）
（II）由（I）知A+C=，
而====2，…（7分）
∴a+c=2sinA+2sinC…（8分）
=2[sinA+sin（-A）]
=2（sinA+cosA-sinA）
=2sin（A+），…（9分）
∵0＜A＜，
∴＜A+＜．…（10分）
∴＜sin（A+）≤1，
∴a+c=2sin（A+）∈（，2]，
故a+c的最大值為2．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查正弦定理及三角函數(shù)間的關(guān)系式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．