Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖2．
（1）求證：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中點，求CM與平面A₁BE所成角的大小；
（3）線段BC上是否存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明A₁C⊥平面BCDE，因為A₁C⊥CD，只需證明A₁C⊥DE，即證明DE⊥平面A₁CD；
（2）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面A₁BE法向量，=（-1，0，），利用向量的夾角公式，即可求得CM與平面A₁BE所成角的大�。�
（3）設線段BC上存在點P，設P點坐標為（0，a，0），則a∈[0，3]，求出平面A₁DP法向量為
假設平面A₁DP與平面A₁BE垂直，則，可求得0≤a≤3，從而可得結論．
解答：（1）證明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD，
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D
∴A₁C⊥平面BCDE
（2）解：如圖建系C-xyz，則D（-2，0，0），A₁（0，0，2），B（0，3，0），E（-2，2，0）
∴，
設平面A₁BE法向量為
則∴∴
∴
又∵M（-1，0，），∴=（-1，0，）
∴
∴CM與平面A₁BE所成角的大小45°
（3）解：設線段BC上存在點P，設P點坐標為（0，a，0），則a∈[0，3]
∴，
設平面A₁DP法向量為
則∴
∴
假設平面A₁DP與平面A₁BE垂直，則，
∴3a+12+3a=0，6a=-12，a=-2
∵0≤a≤3
∴不存在線段BC上存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直
點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查面面垂直，既有傳統(tǒng)方法，又有向量知識的運用，要加以體會．