Question

設(shè)同時滿足條件：①

bn+bn+2

2

≥bn+1；②b_n≤M（n∈N₊，M是與n無關(guān)的常數(shù)）的無窮數(shù)列{b_n}叫“嘉文”數(shù)列．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：Sn=

a

a-1

(an-1)（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=

2Sn

an

+1，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值，并證明此時{

1

bn

}為“嘉文”數(shù)列．

Answer 1

（1）因為S1=

a

a-1

(a1-1)，所以a₁=a
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=

a

a-1

an-

a

a-1

an-1

an

an-1

=a，即{a_n}以a為首項，a為公比的等比數(shù)列．
∴an=a•an-1=an；         …（4分）
（2）由（1）知，bn=

2× a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

(a-1)an

，
若{b_n}為等比數(shù)列，則有b22=b1•b3，而b₁=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

故(

3a+2

a

)2=3•

3a2+2a+2

a2

，解得a=

1

3

…（7分）
再將a=

1

3

代入得：bn=3n，其為等比數(shù)列，所以a=

1

3

成立…（8分）
由于①

1 bn + 1 bn+2

2

=

1 3n + 1 3n+2

2

＞

2 1 3n • 1 3n+2

2

=

1

3n+1

=

1

bn+1

…（10分）
（或做差更簡單：因為

1 bn + 1 bn+2

2

-

1

bn+1

=

5

3n+2

-

1

3n+1

=

2

3n+2

＞0，所以

1 bn + 1 bn+2

2

≥

1

bn+1

也成立）
②

1

bn

=

1

3n

≤

1

3

，故存在M≥

1

3

；
所以符合①②，故{

1

bn

}為“嘉文”數(shù)列…（12分）