Question

已知函數(shù)f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，
（1）求：-

b

3a

的范圍；    
（2）若x₁，x₂是方程f（x）=0的兩實(shí)根，求|x₁-x₂|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（0）f（1）=c（3a+2b+c），根據(jù)a+b+c=0，則=-（a+b）（2a+b）＞0，從而建立關(guān)于

b

a

的不等關(guān)系，從而求出

b

a

的取值范圍，即可求得-

b

3a

的范圍； 
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出x₁+x₂，x₁•x₂，則可得|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，得到關(guān)于

b

a

的二次函數(shù)，又由（1）得-2＜

b

a

＜-1，根據(jù)其增減性即可求得|x₁-x₂|的取值范圍．

解答：證明：（1）∵函數(shù)f（x）=3ax²+2bx+c，
∴f（0）•f（1）=c（3a+2b+c）＞0，
又a+b+c=0，則c=-（a+b），3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b，
∴-（a+b）（2a+b）＞0，即b²+3ab+2a²＜0，
∴（

b

a

）²+3×

b

a

+2＜0，解得-2＜

b

a

＜-1，
∴

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

，
故-

b

3a

的取值范圍為

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

；
（2）∵x₁、x₂是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁•x₂=

c

3a

=-

a+b

3a

，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-

2b

3a

）²+4×（

a+b

3a

）=

4

9

（

b

a

）²+

4

3

×

b

a

+

4

3

，
上式是關(guān)于

b

a

的一個(gè)二次函數(shù)，對(duì)稱軸為

b

a

=-

3

2

，
由（1）可得，-2＜

b

a

＜-1，
∴∴|x₁-x₂|²在（-2，-

3

2

]上單調(diào)遞減，在[-

3

2

，-1）上單調(diào)遞增，
∴|x₁-x₂|²∈[

1

3

，

4

9

），
∴|x₁-x₂|的取值范圍的取值范圍為[

3

3

，

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸，以及判別式的考慮．本題涉及了含有字母系數(shù)的一元二次方程的解法，要注意根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．屬于中檔題．