已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件：

（1） 對任意的，總有；（2）；（3） 若，，且，則有成立，則稱為“友誼函數(shù)”，請解答下列各題：

（1）若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；

（2）函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.

（3）已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得且， 求證：.

 

（1）（2）是友誼函數(shù)（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用賦值法由得，再由得，所以（2）分別驗證（1）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在區(qū)間上的最小值為0，（2）直接帶入驗證易得（3）利用做差法直接比較 （3） 先利用單調(diào)性的定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，然后再證明

取得， 又由，

得

（2）顯然在上滿足（1） ；（2）.（3）若，，且，則有

故滿足條件（1）、（2）、（3），所以為友誼函數(shù).

（3）由 （3）知任給其中，且有，不妨設(shè)

所以：.

下面證明：(i)若，則有或

若，則，這與矛盾；

（2）若，則，這與矛盾；

綜上所述：

考點：函數(shù)的概念與性質(zhì).

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2016屆廣東省汕頭市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

將個正整數(shù)、、、 、（）任意排成行列的數(shù)表．對于某一個數(shù)表,計算各行和各列中的任意兩個數(shù)、（）的比值,稱這些比值中的最小值為這個數(shù)表的“特征值”．當(dāng)時,數(shù)表的所有可能的“特征值”最大值為（ ）

A． B． C． D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2016屆廣東省高一下學(xué)期第二次階段考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

直線與圓的位置關(guān)系是（　�。�

A.相離 B.相交 C.相切 D.不確定

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2016屆廣東省高一下學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

無論m為何值，直線：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒過一定點P，則點P的坐標(biāo)為 ．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2016屆廣東省高一下學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

圓錐的表面積是底面積的倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為（ ）

A． B． C． D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2016屆廣東省揭陽一中高一下學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

求過點P（，且被圓C:截得的弦長等于8的直線方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2016屆廣東省揭陽一中高一下學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知，則（　 ）

A．2 B．1 C．4 D.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2016屆廣東省廣州市越秀區(qū)高一下學(xué)期期末水平調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

已知，則______________．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2016屆廣東省高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

關(guān)于平面向量a，b，c，有下列三個命題：

①若a·b＝a·c，則b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，則k＝－3；③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°．其中真命題的序號為________．(寫出所有真命題的序號)

 

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