Question

【題目】已知橢圓E： 的離心率為 ，F(xiàn)1 ， F2分別是它的左、右焦點(diǎn)，且存在直線l，使F1 ， F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)恰好為圓C：x2+y2﹣4mx﹣2my+5m2﹣4=0（m∈R，m≠0）的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l與拋物線y2=2px（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，射線F1A，F(xiàn)1B與橢圓E分別相交于點(diǎn)M，N，試探究：是否存在數(shù)集D，當(dāng)且僅當(dāng)p∈D時(shí)，總存在m，使點(diǎn)F1在以線段MN為直徑的圓內(nèi)？若存在，求出數(shù)集D；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將圓C的方程配方的：（x﹣2m）2+（y﹣m）2=4，則圓心C（2m，m），半徑為2，

由橢圓的焦距為2c=d=4，c=2，

由e= = ，則a=3，

b2=a2﹣c2=5，故橢圓的方程為 ；

（2）由F1，F(xiàn)2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)恰好是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線l是線段OC的垂直平分線，

故l方程為y=﹣2x+ ，

，整理得2y2+2py﹣5pm=0，

則△=（2p）2+4×2×5p＞0，則p+10m＞0，

設(shè)A（x1，y1），B（x1，y1），則y1+y2=﹣p，y1y1=﹣ ，

由F1的坐標(biāo)為（﹣2，0），則 =（x1+2，y1）， =（x2+2，y2），

由 與 同向， 與 同向，

則點(diǎn)F1在以線段MN為直徑的圓內(nèi)，則 ＜0，則 ＜0，

則（x1+2）（x2+2）+y1y2＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4+y1y1＜0，則 +10（2﹣p）m+4（p+4）＜0，

當(dāng)且僅當(dāng)△=100（2﹣p）2﹣100（p+4）＞0，即p＞5，

總存在m使得②成立，

當(dāng)p＞5時(shí)，由韋達(dá)定理可知 +10（2﹣p）m+4（p+4）=0的兩個(gè)根為正數(shù)，

故使②成立的m＞0，從而滿足①，

故存在整數(shù)集D=（5，+∞），當(dāng)且僅當(dāng)p∈D時(shí)，總存在m，使點(diǎn)F1在線段MN為直徑的圓內(nèi)．

【解析】（1）將圓C的一般方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)題意不難得到橢圓方程中的a，b，c，（2）由F1，F(xiàn)2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)恰好是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線l是線段OC的垂直平分線，可得到直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理得到y(tǒng)1+y2，y1y1，根據(jù)點(diǎn) F1在以線段MN為直徑的圓內(nèi)，可得到 ＜0，表示出向量進(jìn)行求解即可.