Question

若m是2和8的等比中項，則m=

 

，圓錐曲線x2+

y2

m

=1的離心率是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)等比中項的定義，列式解出m=±4．當m=4時圓錐曲線表示焦點在y軸上的橢圓，當m=-4時圓錐曲線表示焦點在x軸上雙曲線．由此利用橢圓、雙曲線的基本量的平方關系與離心率公式，可算出該圓錐曲線的離心率．

解答：解：∵m是2和8的等比中項，∴m²=2×8=16，解之得m=±4．
當m=4時，曲線x2+

y2

m

=1即x2+

y2

4

=1，表示焦點在y軸上的橢圓，
∵a₁²=4且b₁²=1，
∴a₁=2，c₁=

a12-b12

=

3

，橢圓的離心率e₁=

c1

a1

=

3

2

；
當m=-4時，曲線x2+

y2

m

=1即x2-

y2

4

=1，表示焦點在x軸上的雙曲線，
同理可得a₂=1，c₂=

a22+b22

=

5

，雙曲線的離心率e₂=

c2

a2

=

5

．
綜上所述，m的值為±4；，圓錐曲線x2+

y2

m

=1的離心率是

3

2

或

5

．
故答案為：±4，

3

2

或

5

點評：本題給出含有參數(shù)m的圓錐曲線，在已知m為2和8的等比中項的情況下求曲線的離心率，著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程和簡單幾何性質、等比中項的概念等知識，屬于中檔題．