Question

求下列函數(shù)的反函數(shù) （1）；（2）y=x|x|+2x；（3）；（4）y=x³-3x²+3x+1；（5）y=log₂（x²+1）（x＜0）

Answer 1

【答案】分析：已知y=f（x），求y=f^-1（x）的步驟：①把y看成常數(shù)，求出x：x=f^-y；②x，y互換，得到y(tǒng)=f^-1（x）；③寫出y=f^-1（x）的定義域．由此利用題設條件，能夠求出所給函數(shù)的反函數(shù)．
解答：解：（1）∵y=，
∴x²+x-y²=0，x≤-1，且y≥0．
∴，
x，y互換，得的反函數(shù)為，x≥0；
（2）y=x|x|+2x，
當x≥0時，y=x²+2x，且y≥0，
，
x，y互換，得y=x²+2x的反函數(shù)為．
當x＜0時，y=-x²+2x，且y＜0，
，
x，y互換，得y=-x²+2x的反函數(shù)為．
∴y=x|x|+2x的反函數(shù)為；
（3），
當0≤x≤1時，y=x²-1∈[-1，0]，
x²=y+1，
x=，
x，y互換，得y=x²-1∈[-1，0]的反函數(shù)為．
當-1≤x＜0時，y=x²∈（0，1]，
，
x，y互換，得y=x²∈（0，1]的反函數(shù)為，0＜x≤1．
∴的反函數(shù)；
（4）∵y=x³-3x²+3x+1，
∴y-2=x³-3x²+3x-1=（x-1）³，
x-1=（y-2），
∴x=（y-2）+1，
∴y=x³-3x²+3x+1的反函數(shù)是y=，x∈R；
（5）∵y=log₂（x²+1）（x＜0）
∴x²+1=2^y，且y＞0
x²=2^y-1，
x=-，
x，y互換，得y=log₂（x²+1）（x＜0）的反函數(shù)為，x＞0．
點評：本題考查反函數(shù)的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意反函數(shù)定義域的求法．