Question

已知函數(shù)f（x）在（-1，1）上有定義，且f（

1

5

）=

1

2

．對(duì)任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），當(dāng)且僅當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）＞0．
（1）判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（3）試求f（

1

2

）-f（

1

11

）-f（

1

19

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性以及抽象函數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）證明：取x=y=0⇒f（0）=0，f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f （x），又定義域?qū)ΨQ，
故f（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈（0，1），且0＜x₁＜x₂＜1．
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2-x1

1-x1x2

）=-f（

x1-x2

1-x1x2

  ）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴（1-x₁x₂）-（x₂-x₁）=（1+x₁）（1-x₂）＞0⇒1-x₁x₂＞x₂-x₁＞0⇒0＜

x2-x1

1-x1x2

＜1，
∴-1＜

x1-x2

1-x1x2

＜0，
∴f（

x1-x2

1-x1x2

）＞0，
∴-f（

x1-x2

1-x1x2

）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁）．
故f（x）是（0，1）上的減函數(shù)．
（3）f（

1

2

）-f（

1

11

）=f（

1

2

）+f（-

1

11

）=f （

1 2 - 1 11

1- 1 2 × 1 11

）=f（

3

7

），
∴f（

3

7

）-f（

1

19

）=f（

3 7 - 1 19

1- 3 7 × 1 19

）=f（

5

13

）．
而f（

1

5

）+f（

1

5

）=f（

1 5 + 1 5

1- 1 5 × 1 5

）=f（

5

13

）⇒f（

5

13

）=2×f（

1

5

）=1，
∴f（

1

2

）-f（

1

11

）-f（

1

19

）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．