Question

設(shè)e₁、e₂為焦點在x軸上且具有公共焦點F₁、F₂的標(biāo)準(zhǔn)橢圓和標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的離心率，O為坐標(biāo)原點，P是兩曲線的一個公共點，且滿足2=，則的值為（ ）
A．2
B．
C．
D．1

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出橢圓的長半軸，雙曲線的實半軸，它們的半焦距，利用橢圓的和雙曲線的定義可得焦半徑，寫出兩個曲線的離心率，即可得到結(jié)果．
解答：解：設(shè)橢圓的長半軸是a₁，雙曲線的實半軸是a₂，它們的半焦距是c
并設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，根據(jù)橢圓的和雙曲線的定義可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
∵2=，∴PF₁⊥PF₂，由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化簡可得a₁²+a₂²=2c²
∴+=2
∴===
故選B．
點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是得到兩個曲線的參數(shù)之間的關(guān)系，屬于中檔題．